点到超平面到距离公式推导

假设要求空间中任一点$x_0$到超平面$S=w\cdot x + b$到距离。

取超平面S上任一点$x_1$,连接$x_1$,$x_0$两点得到向量$\overrightarrow { x_{ 1 }x_{ 0 } } $,则向量$\overrightarrow { x_{ 1 }x_{ 0 } } $在法向量$\overrightarrow { w } $上点投影长度即是$x_0$到超平面到距离d。

假设$x_0$的坐标为$(x_0^0,x_0^1,\cdots ,x_0^n)$,$x_1$的坐标为$(x_1^0,x_1^1, \cdots ,x_1^n)$,则向量$\overrightarrow { x_{ 1 }x_{ 0 } } $表示为$((x_{ 0 }^{ 0 }-x_{ 1 }^{ 0 }), (x_{ 0 }^{ 1 }-x_{ 1 }^{ 1 }), \cdots , (x_{ 0 }^{ n }-x_{ 1 }^{ n }))$。

$\frac { \overrightarrow { w } }{ \left|\left| \overrightarrow { w } \right|\right| } $表示法向量方向上到单位向量,然后用该向量和$\overrightarrow { x_{ 1 }x_{ 0 } } $做内积即可得到$\overrightarrow { x_{ 1 }x_{ 0 } } $在法向量方向上长度即距离d.

$$\frac { \overrightarrow { w } }{ \left|\left| \overrightarrow { w } \right|\right| } \cdot \overrightarrow { x_{ 1 }x_{ 0 } } =\frac { w_{ 0 }\times (x_{ 0 }^{ 0 }-x_{ 1 }^{ 0 })+w_{ 1 }\times (x_{ 0 }^{ 1 }-x_{ 1 }^{ 1 })+\cdots +w_{ n }\times (x_{ 0 }^{ n }-x_{ 1 }^{ n }) }{ \sqrt { w_{ 0 }^{ 2 }+w_{ 1 }^{ 2 }+\cdots +w_{ n }^{ 2 } } } =\frac { (w_{ 0 }x_{ 0 }^{ 0 }+w_{ 1 }x_{ 0 }^{ 1 }+\cdots +w_{ n }x_{ 0 }^{ n })-(w_{ 0 }x_{ 1 }^{ 0 }+w_{ 1 }x_{ 1 }^{ 1 }+\cdots +w_{ n }x_{ 1 }^{ n }) }{ \sqrt { w_{ 0 }^{ 2 }+w_{ 1 }^{ 2 }+\cdots +w_{ n }^{ 2 } } } $$

因为$x_1$点在平面S上,所以$0=w\cdot x1 + b$即$b=-w\cdot x_1=-(w_{ 0 }x_{ 1 }^{ 0 }+w_{ 1 }x_{ 1 }^{ 1 }+\cdots +w_{ n }x_{ 1 }^{ n })$,带入上式中得到$$\frac { (w_{ 0 }x_{ 0 }^{ 0 }+w_{ 1 }x_{ 0 }^{ 1 }+\cdots +w_{ n }x_{ 0 }^{ n })+b }{ \sqrt { w_{ 0 }^{ 2 }+w_{ 1 }^{ 2 }+\cdots +w_{ n }^{ 2 } } }=\frac { w\cdot x_{ 0 }+b }{ \left|\left| \overrightarrow { w } \right|\right| } $$

由于我们求的是距离,不关心正负,所以取绝对值即可:$$\frac { \left| w\cdot x_{ 0 }+b \right| }{ \left|\left| \overrightarrow { w } \right|\right| } $$